método trigonométrico aplicando vectores

método Trigonométrico aplicado a vectores

Este método se basa en el empleo de la trigonometría del triángulo rectángulo simple; éste puede mejorar la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante; además, ayuda a encontrar los componentes de un vector.

Será de gran ayuda utilizar los ejes x  y y imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analítica. Cualquier vector puede dibujarse haciendo coincidir su origen con el cruce de esas líneas imaginarias. A lo largo de los ejes x y y, los componentes del vector pueden verse como efectos.

Ejercicio

Si se tiene una fuerza de 200 N, con un ángulo de 60° ¿cuáles son los componentes x y y ?

Primero, se traza una gráfica ubicando el origen del vector de 200 N en el centro de los ejes x y y como se observa en la siguiente figura.

Al calcular el componente x , o sea Fx , tomando en cuenta que se trata del lado adyacente. El vector de 200N es la hipotenusa. Si se usa la función coseno, se obtiene

cos 60° =   Fx / 200 N                            

entonces

Fx = (200 N) cos 60° = 100 N

Para estos cálculos se nota que el lado opuesto a 60° es igual en longitud a Fx  . De esta forma, se escribe:

sen 60° =    Fy / 200 N

de lo cual resulta:

Fy = (200 N) sen 60° = 173.2 N

Esto indica que es posible escribir los componentes de x  y y  de un vector en términos de su magnitud F  y su dirección q:

Componentes de un vector

Fx  = F cos q

Fy  = F sen q

aquí q es el ángulo entre el vector y el eje x  positivo, medido en dirección opuesta a las manecillas del reloj.

Para determinar el signo de un componente, se tienen cuatro posibilidades, que se muestran en las siguientes figuras.

Ejercicio

Con base en la figura 15, hallar los componentes x  y y  de una fuerza de 400 N a un ángulo de 220° a partir del eje x  positivo.

Se tiene que q = 220°. El ángulo agudo q se encontró mediante la referencia a 180°

f = 220° - 180° = 40 °

En la figura se observa que tanto Fx  como Fy  son negativas.

Fx  = - êF cos f÷ = - (400 N) cos 40°
    = - (400 N)(0.766) = - 306 N
Fy  = - êF sen f÷ = - (400 N) sen 40°
    = - (400 N)(0.643) = - 257 N

Nótese que los signos se determinaron a partir de las figuras anteriores. Tanto la magnitud como el signo de Fx  y Fy se obtienen en forma directa a partir de la ecuación Fx  = F cos q y Fy = F  sen q.

Además de encontrar los componentes, la trigonometría sirve para calcular la fuerza resultante. En el caso especial en que dos fuerzas Fx y Fy son perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura 17, la resultante (R, q) se puede hallar a partir de

R  = Ö F 2 + F 2      tan q =  Fy / Fx

Generalmente es más fácil determinar el ángulo agudo f. El signo o dirección de las fuerzas Fx  y Fy  determina que cuadrante se va a utilizar. Entonces, la ecuación anterior se transforma en:

Únicamente se requieren los valores absolutos de Fx  y Fy . Si se desea, se puede determinar el ángulo q del eje x  positivo. En ambos casos se debe identificar la dirección.

Ejercicio

Encontrar la resultante de una fuerza de   5 N orientada horizontalmente a la derecha y una fuerza de 12 N orientada verticalmente hacia abajo.

Primero indique las dos fuerzas:

Fx  = 5 N y Fy  = -12 N (hacia abajo)

Con base en la siguiente gráfica, se tiene que la magnitud de la resultante R  se encuentra a partir de la ecuación:

R  = Ö F 2 + F 2    tan q =  Fy /Fx

de donde resulta:

R = Ö F 2 + F 2 = Ö (5 N)2 + (- 12 N)2  = Ö 25 N2 + 144 N2 = Ö 169 N2 = 13 N

Para encontrar la dirección de R, primero se determina el ángulo agudo f:



f = 67.4° debajo del eje x  positivo.

El ángulo q medido en dirección opuesta a las manecillas del reloj a partir del eje x positivo es:

q = 360° - 67.4° = 292.6°

La fuerza resultante es 13 N a 292.6°.