método trigonométrico aplicando vectores

método Trigonométrico aplicado a vectores

Este método se basa en el empleo de la trigonometría del triángulo rectángulo simple; éste puede mejorar la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante; además, ayuda a encontrar los componentes de un vector.

Será de gran ayuda utilizar los ejes x  y y imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analítica. Cualquier vector puede dibujarse haciendo coincidir su origen con el cruce de esas líneas imaginarias. A lo largo de los ejes x y y, los componentes del vector pueden verse como efectos.

Ejercicio

Si se tiene una fuerza de 200 N, con un ángulo de 60° ¿cuáles son los componentes x y y ?

Primero, se traza una gráfica ubicando el origen del vector de 200 N en el centro de los ejes x y y como se observa en la siguiente figura.

Al calcular el componente x , o sea Fx , tomando en cuenta que se trata del lado adyacente. El vector de 200N es la hipotenusa. Si se usa la función coseno, se obtiene

cos 60° =   Fx / 200 N                            

entonces

Fx = (200 N) cos 60° = 100 N

Para estos cálculos se nota que el lado opuesto a 60° es igual en longitud a Fx  . De esta forma, se escribe:

sen 60° =    Fy / 200 N

de lo cual resulta:

Fy = (200 N) sen 60° = 173.2 N

Esto indica que es posible escribir los componentes de x  y y  de un vector en términos de su magnitud F  y su dirección q:

Componentes de un vector

Fx  = F cos q

Fy  = F sen q

aquí q es el ángulo entre el vector y el eje x  positivo, medido en dirección opuesta a las manecillas del reloj.

Para determinar el signo de un componente, se tienen cuatro posibilidades, que se muestran en las siguientes figuras.

Ejercicio

Con base en la figura 15, hallar los componentes x  y y  de una fuerza de 400 N a un ángulo de 220° a partir del eje x  positivo.

Se tiene que q = 220°. El ángulo agudo q se encontró mediante la referencia a 180°

f = 220° - 180° = 40 °

En la figura se observa que tanto Fx  como Fy  son negativas.

Fx  = - êF cos f÷ = - (400 N) cos 40°
    = - (400 N)(0.766) = - 306 N
Fy  = - êF sen f÷ = - (400 N) sen 40°
    = - (400 N)(0.643) = - 257 N

Nótese que los signos se determinaron a partir de las figuras anteriores. Tanto la magnitud como el signo de Fx  y Fy se obtienen en forma directa a partir de la ecuación Fx  = F cos q y Fy = F  sen q.

Además de encontrar los componentes, la trigonometría sirve para calcular la fuerza resultante. En el caso especial en que dos fuerzas Fx y Fy son perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura 17, la resultante (R, q) se puede hallar a partir de

R  = Ö F 2 + F 2      tan q =  Fy / Fx

Generalmente es más fácil determinar el ángulo agudo f. El signo o dirección de las fuerzas Fx  y Fy  determina que cuadrante se va a utilizar. Entonces, la ecuación anterior se transforma en:

Únicamente se requieren los valores absolutos de Fx  y Fy . Si se desea, se puede determinar el ángulo q del eje x  positivo. En ambos casos se debe identificar la dirección.

Ejercicio

Encontrar la resultante de una fuerza de   5 N orientada horizontalmente a la derecha y una fuerza de 12 N orientada verticalmente hacia abajo.

Primero indique las dos fuerzas:

Fx  = 5 N y Fy  = -12 N (hacia abajo)

Con base en la siguiente gráfica, se tiene que la magnitud de la resultante R  se encuentra a partir de la ecuación:

R  = Ö F 2 + F 2    tan q =  Fy /Fx

de donde resulta:

R = Ö F 2 + F 2 = Ö (5 N)2 + (- 12 N)2  = Ö 25 N2 + 144 N2 = Ö 169 N2 = 13 N

Para encontrar la dirección de R, primero se determina el ángulo agudo f:



f = 67.4° debajo del eje x  positivo.

El ángulo q medido en dirección opuesta a las manecillas del reloj a partir del eje x positivo es:

q = 360° - 67.4° = 292.6°

La fuerza resultante es 13 N a 292.6°.

los puntos vectoriales (resultante)

RESULTANTE

Si sobre un mismo punto, dos o más fuerzas actúan en un objeto, se les llama fuerzas concurrentes; y al resultado combinado de dichas fuerzas se llama fuerza resultante.

Se define la fuerza resultante como la fuerza individual que produce el mismo efecto, tanto en la magnitud como en la dirección, que dos o más fuerzas concurrentes. El cálculo de cada una de estas fuerzas puede graficarse como un vector.

Sobre una misma línea, las fuerzas actúan ya sea juntas o en oposición. Cuando actúan sobre un mismo objeto en una misma dirección, la fuerza resultante es igual a la suma de las magnitudes de dichas fuerzas. La dirección de la resultante es la misma que la de cualquiera de las fuerzas.

En la siguiente figura se considera una fuerza de 15 N y una fuerza de 20 N que actúan en la misma dirección hacia el este. Su resultante es de 35 N hacia el este (imagen 1).

Ahora bien, si los valores de las fuerzas actúan en direcciones opuestas, la magnitud de la fuerza resultante es igual a la diferencia de las magnitudes de las dos fuerzas y actúa en la dirección de la fuerza más grande.

Suponiendo que la fuerza de 15 N del ejemplo se cambiara, de modo que tirara hacia el oeste. La resultante sería de 5 N, al este, como en la imagen 2.

Si se toman dos fuerzas que formen un ángulo entre 0° y 180°, su resultante es el vector suma. Las dos fuerzas mencionadas, de 15 y 20 N, actúan formando un ángulo de 60° entre sí. La fuerza resultante, calculada por el método del paralelogramo, resulta ser de 30.4 N a 34.7° como se ve en la imagen 3.

puntos vectoriales (movimiento y fuerza)

MOVIMIENTO DE FUERZA

Fuerza es la acción de empujar o jalar que provoca el movimiento de un objeto.

La fuerza más conocida es la atracción universal que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos; a esta fuerza se le llama peso del cuerpo. Existe una fuerza bien definida aunque no estén en contacto la Tierra y los cuerpos que ésta atrae. El peso es una cantidad vectorial dirigida hacia el centro del planeta.

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el newton (N). Su equivalente en la unidad del Sistema Usual de Estados Unidos (SUEU), es la libra (lb), es decir que:

1 N = 0.225 lb     1 lb = 4.45 N

Las fuerzas producen dos efectos medibles:

1.        Cambiar las dimensiones o la forma de un cuerpo.
2.        Cambiar el movimiento del cuerpo.

Cuando no hay desplazamiento resultante de dicho cuerpo, la fuerza que causa el cambio de forma se llama fuerza estática. Si una fuerza cambia el movimiento del cuerpo se llama fuerza dinámica.

Las dos fuerzas se representan por medio de vectores, como en el ejemplo del cometa.

La eficiencia de una fuerza depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, es más fácil arrastrar una balsa por el suelo usando una cuerda inclinada, como se muestra en la imagen 1, que si se le empuja.

La fuerza aplicada produce más de un solo esfuerzo; es decir, la fuerza ejercida sobre la cuerda levanta la balsa y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. Igualmente, al empujar la balsa se produce el efecto de añadirle peso. Esto lleva a la idea de las componentes de una fuerza, que son los valores reales de una fuerza en direcciones diferentes a la de la fuerza misma. Como se ilustra en la imagen 1, la fuerza F  puede reemplazarse por sus componentes horizontal y vertical, Fx  y Fy  .

Al graficar una fuerza, ésta se representa por su magnitud y un ángulo (R, q ), se pueden determinar sus componentes a lo largo de las direcciones x  y y. Una fuerza F actúa con un ángulo q sobre la horizontal, como se muestra en la imagen 2. El significado de las componentes x  y y, Fx  y Fy , se puede apreciar en la gráfica.


El segmento que va desde O  hasta el pie de la perpendicular que baja a la A al eje x  se llama componente x  de F  y se indica como Fx . El segmento que va desde O  hasta el pie de la perpendicular al eje y que parte de A se llama componente y  de F  y se suele indicar como Fy . Al trazar vectores a escala, se puede determinar gráficamente la magnitud de las componentes. Estos dos componentes, actuando juntos, tienen el mismo efecto que la fuerza original F.

En la imagen 3, el hombre empuja la cortadora de pasto hacia abajo con una fuerza de 40 N, con un ángulo de 50° respecto a la horizontal. ¿Cuál será la magnitud del efecto horizontal de esta fuerza?

Primero deberá esquematizarse el problema, es decir, traducir el problema de las palabras a la imagen, este procedimiento ayuda a comprender el problema.

La fuerza de 40 N se transmite a través del manubrio hasta el cuerpo de la cortadora. En la imagen 3 se muestra un diagrama vertical. Una escala de 1 cm = 10 N resulta adecuada para este ejemplo. El efecto horizontal de la fuerza de 40 N es el componente x , como se señala en la figura. El valor de Fx  es 2.57 cm, puesto que 1 cm = 10 N, resultando:

       10N
Fx=2.57 cm -------- = 25.7 N
                    1 cm

La fuerza aplicada es mayor que la fuerza real.

puntos vectoriales

SUMA POR MÉTODOS GRÁFICOS

Para sumar vectores, existen dos métodos gráficos: el método del polígono y el del paralelogramo.

El método del polígono es el más útil, ya que puede aplicarse a más de dos vectores. El método del paralelogramo es conveniente para sumar sólo dos vectores a la vez. En ambos casos, la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmento de recta. La dirección se marca colocando una punta de flecha en el extremo del segmento de dicha línea.

Ejercicio

Un ciclista recorre 100 km hacia el norte durante el primer día de viaje, 60 km al noreste el segundo día, y 120 km hacia el este el tercer día. Hallar con el método del polígono, el desplazamiento resultante.

Para facilitar la gráfica, se puede emplear una escala de 20 a 1. Utilizando esta escala, se tiene que:











flecha resultante tiene 10.8 cm de longitud. Por lo tanto, la magnitud es:




Midiendo el ángulo q, resulta que la dirección es de 41°. Por lo tanto, el desplazamiento resultante es:

R = 216 km, 41°
(ver imagen 1)

Se puede empezar con cualquiera de las tres distancias recorridas por el ciclista. Obsérvese que el orden en que se suman los vectores no cambia en absoluto la resultante.

Pueden usarse métodos gráficos para hallar la resultante de todo tipo de vectores. No se limitan solamente a la medición de desplazamientos.

En el método del paralelogramo, los vectores se dibujan a escala con sus orígenes en un mismo punto (imagen 2). Los dos vectores forman dos lados contiguos de un paralelogramo. Los otros dos lados se hacen trazando líneas paralelas de igual longitud. La resultante se representa por medio de la diagonal del paralelogramo, a partir del origen entre los vectores.

Ejercicio

Un cometa se enreda en un árbol formando un ángulo de 120°. Si de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 k y del otro con una fuerza de 20 k, ¿cuál es la fuerza resultante sobre el árbol?

Usando una escala de 1 cm = 10 k, se tiene

                                         






Dibujando a escala las dos fuerzas a partir de un origen común y con un ángulo de 120° entre ellas, se construye un paralelogramo.

Al completar el paralelogramo se dibuja la resultante como una diagonal desde el origen. Al medir R  y q se obtiene 53 k para la magnitud y 19° para la dirección. Por lo tanto, la respuesta  es: R  = 53 k, 19°.

vectores

¿QUÉ ES UN VECTOR?

Un vector es la medida en la cual es importante la dirección y que generalmente debe estar especificada. Por ejemplo, el desplazamiento es una cantidad vectorial, en tanto que la distancia es escalar. El peso, la velocidad y la intensidad de campo magnético son otros ejemplos de vectores. Se dan siempre como un número con una unidad y una dirección.


CANTIDADES
Hay cantidades que pueden describirse totalmente por un número y una unidad. Sólo importan las magnitudes en los casos de una área de 42 m², un volumen de 82 mm³, o una distancia de 120 cm. Estas son cantidades escalares. Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad. Por ejemplo: velocidad (42 km/h), distancia (50 m) y volumen (45 dm³).

Estas cantidades pueden sumarse o restarse convencionalmente, siempre y cuando utilicen las mismas unidades.

45 cm + 17 cm = 62 cm

41 m2 - 25 m2 = 16 m²

La fuerza y la velocidad, tienen dirección y además magnitud, a estas se les llama cantidades vectoriales. La dirección debe formar parte de cualquier cálculo en el que intervengan dichas cantidades.

Mediante una magnitud y una dirección se puede especificar una cantidad vectorial. Consiste en un número, una unidad y una dirección. Por ejemplo, desplazamiento (12 km al sur) y velocidad (60 km/h, 45° SE).

Con las direcciones convencionales: norte (N), este (E), oeste (O) y sur (S), puede determinarse la dirección de un vector. Por ejemplo, los vectores 20 m, O y 40 m a 30° NE, como se demuestra en la imagen 1. La expresión  noreste señala que el ángulo se forma haciendo girar una línea hacia el norte, a partir de la dirección este.

Otra forma de marcar una dirección, es tomar como referencia líneas perpendiculares llamadas ejes. Estas líneas imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, pero pueden estar orientadas en otras direcciones siempre que sean perpendiculares entre sí. La línea horizontal se llama eje x, y la línea vertical se llama eje y.

En la imagen 3 las direcciones se indican mediante ángulos medidos en sentido directo, (contrario a las manecillas del reloj), a partir de la posición del eje x positivo; los vectores 40 m a 60° y 50 m a 210°.